Trigonometrik Oranların Tanımı     Sinüs = (karşı dik kenar) / (hipotenüs) Kosinüs = (komşu dik kenar) / (hipotenüs) Tanjant = (karşı dik kenar) / (komşu dik kenar) Sekant = 1 / kosinüs Kosekant = 1 / sinüs Kotanjant = 1 / tanjant

Sinüs, kosinüs, tanjant, trigonometrik oranları ve bu oranların çarpma işlemine göre terslerinden elde edilen diğer oranları ;  Sin A = a/b , Cos A = c/b , Tan A = a/c ,  Sec A = b/c , Cosec A = b/a , Cot A = c/a , Sin C = c/b , Cos C = a/b , Tan C = c/a ,  Sec C = b/a , Cosec C = b/c , Cot C = a/c  Yukarıdaki tanımlamalardan aşağıdaki sonuçlar elde edilmektedir.  Sonuçlar: 1. " Ölçüleri toplamı 90° olan iki açının sinüsü kosinüse, tanjantı cotanjantına, sekantı kosekantına eşittir." Yani, sin x=cos(90-x), tanx=cot(90-x), secx=cosec(90-x) dir. Bu sonucu cins değiştirme olarak hatırlayalım. 2. sin²x =(sinx)² olmak üzere; sin²x + cos²x = 1 dir. (pisagordan elde edilir) 3. tanx.cotx=1, sinx.cosecx=1, cosx.cosecx=1 4. tanx=sinx/cosx , cotx=cosx/sinx

Sinüs Alan Teoremi  A(ABC)=1/2 a.b.sinC =1/2 a.c.sinB =1/2 b.c.sinA

Sinüs Alan Teoreminin ispatı   yandaki şekilde sinB=|AH|/|AB| ise |AH|=|AB|.sinB olur. Bunu A(ABC)=|BC|.|AH|/2 alan formülünde yazılırsa A(ABC)=(a.c.sinB)/2 eşitliği elde edilecektir. Diğerleri aynı mantıkla gösterilir. 

Kosinüs teoremi a²=b²+c²-2bc.cosA b²=a²+c²-2ac.cosB c²=a²+b²-2ab.cosC

Kosinüs teoreminin ispatı    |AH|=h ve |BH|=x dersek |HC|=a-x ve cosB=x/c yani x=c.cosB olur. AHB ve AHC üçgenlerinde pisagor bağıntısı uygulanırsa h²=x²+c²=b²+(b-x)² eşitliği buradan da b²=a²+c²-2bx elde edilir. x yerine biraz önce elde edilen x=c.cosB eşitliği yerine yazılırsa b²=a²+c²-2ac.cosB elde edilir. Diğerleri aynı mantıkla gösterilir.

Sinüs Teoremi a/sinA = b/sinB = c/sinC 

Sinüs teoreminin ispatı A(ABC) = 1/2 a.b.sinC = 1/2 a.c.sinB = 1/2 b.c.sinA bu eşitlikler a.b.c ile çarpılıp bölünür ve düzenlenirse sinüs teoremi elde edilmektedir.  Not:  ABC üçgeninin çevrel çemberi çizilerek sinüs teoremini ispatlaya bilirsiniz. Eğer çevrel çember çizilerek ispat yapılırsa sinüs teoremine bir eşitlik daha kazandırmış olursunuz. a/sinA = b/sinB = c/sinC =2R (Geometride R çevrel çemberin yarıçap uzunluğudur.)  Sinüs teoremini geometride kolayca kullanabilmek için üçgenin kenar uzunluklarını a=sinA, b=sinB, c=sinC olarak alabiliriz. (Yani orantı sabitini 1 alıyoruz.)

Yardımcı kural Ölçüleri toplamı 180° olan iki açının sinüsleri eşittir.  sinx=sin(180-x) sin0=sin180

Yardımcı kuralın ispatı  A(ABD) =A(ADC) dir. x ve 180-x e göre sinüs alan yazılırsa;  1/2 a.b.sinx = 1/2 a.c.sin(180-x) sinx=sin(180-x) elde edilir. Burada x=0 yazılırsa sin0=sin180 olduğu görülür. Yardımcı kuralı sinüs teoremi ile birlikte düşünelim:

Toplam - fark - yarım açı formülleri  sin(x+y)=sinx.cosy+siny.cosx sin2x=2sinx.cosx sin(x-y)=sinx.cosy-siny.cosx sin0=cos90=sin180=0 cos180=-1  cos(x+y)=cosx.cosy-siny.sinx cos2x=cos²x-sin²x cos(x-y)=cosx.cosy+siny.sinx cos0=sin90=1 cos(180-x)=-cosx

Toplam - fark - yarım açı formüllerinin ispatı  Yukarıdaki üçgende; sinüs teoremi uygulanarak düzenleme yapılırsa sin(x+y)=sinx.cosy+siny.cosx elde ediliyor. Bu formüllerinde y yerine x yazılırsa sin2x=2sinx.cosx elde edilir.   Yukarıdaki üçgende mABC=x, mC=y alınarak, BDC ikizkenar üçgeni elde edilmiştir. |AD|=sin(x-y) alınırsa |AB|=sin2y , |BD|=sin(x+y) olacaktır. ABC üçgeninde sinüs teoremi uygulanıp sin2y=2siny.cosy eşitliği kullanılırsa |AC|=2six.cosy=sin(x-y)+sin(x+y) elde edilir. Biraz önce elde ettiğimiz toplam formülüne göre sin(x+y) açılımı yapılarak düzenlenirse sin(x-y)=sinx.cosy-siny.cosx eşitliği elde edilmektedir. Bu eşitlikte y=x alınıp cins değişikliği ve yardımcı kuralda elde ettiğimiz sonuçlar birlikte kullanılırsa sin0=sin180=cos90=0 olduğu görülmektedir. Yardımcı kural burada elde ettiğimiz fark formülüne göre açılırsa cos180=-1 bulunmaktadır.  Cins değişikliği yardımıyla cos(x+y) açılımını bulalım; cos(x+y)=sin[90-(x+y)]= sin[(90-x)-y]=sin(90-x).cosy-siny.cos(90-x) =cosx.cosy-sinx.siny elde edilir. Bu formülde y yerine x yazılırsa cos2x=cos²x-sin²x yarım açı formülü elde edilecektir. cos(x-y)=sin[(90-x)+y]=sin(90-x).cosy+siny.cos(90-x)=cosx.cosy+siny.sinx elde edilir. Bu fark formülünde y yerine x alınırsa cos(x-x)=cosx.cosx+sinx.sinx=cos²x + sin²x = 1 olur cins değişikliği de dikkate alınırsa cos0=sin90=1 olduğu görülür. cos(180-x)=cos180.cosx+sin180.sinx= - cosx elde edilir. 

Negatif açıların trigonometrik oranları sin(-x)= - sinx cos(-x)= cosx tan(-x)= - tanx cot(-x)= - cotx

sin(-x)=sin[180-(180+x)]=sin180.cos(180+x)-sin(180+x).cos180 =+sin(180+x)=sin180.cosx+cos180.sinx= - sinx  cos(-x)=cos[180-(180+x)]=cos180.cos(180+x)+sin180.sin(180+x) = - cos(180+x)= - cos180.cosx+sin180.sinx= + cosx  tan(-x)= sin(-x) / cos(-x) = -sinx / cosx = - tanx

Tanant ile ilgili açılımlar tan(x+y)= tanx+tany / 1-tanx.tany tan2x=2tanx/(1-tan²x) tan(x-y)= tanx-tany / 1+tanx.tany tan0=cot90=0 tan90=cot0= tanımsız 

tan(x+y)=sin(x+y) / cos (x+y) =(sinx.cosy+siny.cosx)/(cosx.cosy-siny.sinx) pay e payda cosx.cosy parantezine alınıp düzenlenirse tan(x+y)= tanx+tany / 1-tanx.tany elde edilir. Burada da y yerine -y yazılırsa tan(x-y)= tanx-tany / 1+tanx.tany elde edilir.

Dönüşüm ve ters dönüşüm formülleri sinx.cosy=1/2 [sin(x+y)+sin(x-y)] sinx+siny=2.sin[(x+y)/2].cos[(x-y)/2]  

Dönüşüm ve ters dönüşüm formüllerinin ispatı sin(x+y)=sinx.cosy+siny.cosx ve sin(x-y)=sinx.cosy-siny.cosx açılımları taraf tarafa toplanıp düzenlenirse sinx.cosy=1/2 [sin(x+y)+sin(x-y)] elde edilir. Bu eşitlikte x yerine (x+y)/2 ve y yerine (x-y)/2 yazılıp düzenlenirse sinx+siny=2.sin[(x+y)/2].cos[(x-y)/2] elde edilir. Diğer dönüşüm formüllerini bilmeye gerek yoktur cins değişikliği ve negatif açının trigonometrik oranı yardımıyla bu formüllere benzetme yapılır.  Örneğin; cos10.cos20=sin80.cos20 cos10+cos20=sin80+sin70  cos10.cos100= - sin80.sin10 gibi basit cins değişiklikleri uygulanır