Yeni sayfanın içeriği
ÇÖZÜMLÜ SORULAR
1. a,b sayma sayısı olmak üzere, a < b ve a + b = 20’dir. = 70 olduğuna göre, a kaçtır?
Çözüm:
a + b 20 ise b = 20 – a dır. Buna göre, = 70 =70
b.(b+1)/2 – (a – 1).a/2 = 70 (b2 – a2 + b + a)/2 = 70 (b – a)(b + a)+(b+a) = 70.2
(20 – a – a).20+20 =140 20 – 2a +1 = 7 a =7 dir.
2. log[(k3+3k2+3k+1)/k3] toplamı neye eşittir?
Çözüm:
log[(k3+3k2+3k+1)/k3] = log[(k+1)/k]3 = 3log[(k+1)/k]
= 3log(2/1) + 3log(3/2)+ 3log(4/3)+...+3log(1000/999) = 3log(2/1.3/2.4/3....1000/999)
= 3log103 = 3.3 log 10 = 9
3. f ve g, N’den N’ye aşağıdaki şekilde tanımlanmış iki fonksiyondur. f : x ,
g : x Buna göre (gof)(3)’nin değeri nedir?
Çözüm:
f : x f(x) = x(x+1)/2 g : x g(x) = x(x+1)(2x+1)/6
f(3) = 3(3+1)/2 = 6’dır. Buna göre, (gof)(3) = g[f(3)] =g(6) = 6.(6+1)(2.6+1)/6 = 7.13 = 91’dir
4. f(x) = 4x – 12 ve " a Î N için xa = f(a)’dır. Buna göre, neye eşittir?
Çözüm:
= x3 + x4 + x5 = f(3) + f(4) + f(5) = (4.3 – 12)+(4.4 – 12)+(4.5 – 12) = 0+4+8 = 12
5. (x2 – 3x – 10) çarpımı neye eşittir?
Çözüm:
(x2 – 3x – 10) = = [(x – 5)(x+2)]’dir. x = 5 için (x – 5).(x+2) çarpımı sıfıra eşittir. Bunun için, çarpanlarından biri sıfıra eşit olduğuna göre (x2 – 3x – 10) çarpımı sıfıra eşittir.
6. Her n Î N+ için an = 18/n.an+1 ve a1=6 olduğuna göre a3 kaçtır?
Çözüm:
an = 18/n. an+1 an+1=n/18.an dir. Buna göre, n = 1 için a2 = 1/18.a1=1/18.6=1/3
n = 2 için a3 =3/18.a2=3/18.1/3=1/18 dir.
7. Genel terimi, an = 2n-2.(n+2)! olan bir dizide a4/a2 = ?
Çözüm:
a4/a2 = 24-2.(4+2)!/22-2.(2+2)! = 4.6.5.4!/1.4!=120
8. (an) = (n+10)/n dizininin EBAS’ı m ve EKÜS’ü n olduğuna göre, m + n toplamı kaçtır?
Çözüm:
(n+10)/n = 1+10/n olduğundan dolayı her n Î N için an+1 < an dir. Yani dizi monoton azalandır. a1 = 11 ve lim an = 1 olduğuna göre, her n Î N+ için 1 < an £ 11 dir. Yani ;
EBAS :m = 1 ve EKÜS :n = 11 dir. Buna göre m+n = 1+11=12 dir.
9. (an) =2n(2 – n)/(1+2+3+...+n) dizisinin limiti nedir?
Çözüm:
an = 2n(2 – n)/(1+2+3+...+n) = (-2n2+4n)/n(n+1)/2 = (-4n2+8n)/(n2+n)
lim an = lim (-4n2+8n)/(1.n2+n) = -4/1 = 4’tür.
10. Genel terimi an =2/3+4/9+8/27+...+(2/3)n olan dizinin limiti nedir?
Çözüm:
an =2/3+4/9+8/27+...+(2/3)n = 2/3[1+2/3+(2/3)2+...+(2/3)n-1] = 2[1-(2/3)n]
lim an = lim 2[1-(2/3)n] = 2[lim1 – lim(2/3)n] = 2.(1-0) = 2’dir.
11. (1 – 1/2n)n dizisinin limiti nedir?
Çözüm:
(1+a/n)kn eak olduğuna göre, (1-1/2n)n = [1+(-1/2/n)]n e-1/2 dir.
12. 5 ile 42 arasına 20 tane terim yerleştirilerek bir sonlu aritmetik dizi elde ediliyor. Bu dizinin ortak farkı kaçtır?
Çözüm:
a1 = 5,a2,a3,...a21,a22 =42 ortak fark d = (a22 – a1)/(22 – 1) = (42 – 5)/21 = 37/21 dir.
13. İlk üç terim sırasıyla x, 2x, x2 olan bir pozitif terimli aritmetik dizinin 5. terimi nedir?
Çözüm:
a1 = x, a2 = 2x, a3 = a2 verilen dizi aritmetik dizi olduğuna göre,
a2 = (a1+a3)/2 2x = (x+x2)/2 0 = x2 – 3x x = 0 veya x = 3 tür.
14. Bir aritmetik dizide ilk 10 terim toplamı 155 ve ilk 4 terimin toplamı 26 olduğuna göre, ilk 6 terimin toplamı kaçtır?
Çözüm:
Dizinin ilk terimi a1, ortak farkı d olsun. S10 = 155 10/2(2a1+9d) = 155
2a1 + 9d = 31 ... (1) dir. S4 = 26 4/2(2a1+3d) = 26 2a1+3d = 13 ... (2) dir.
(1) ve (2) denklemlerinin ortak çözümünden,
2a1 + 9d = 31
2a1+3d = 13
Çıkardığımızda d = 3 ve a1 = 2 bulunur. Buna göre S6 = 6/2(2a1+5d) = 3.(2.2+5.3) = 57 dir.
15. 10 ile 320 arasına 4 tane terim yerleştirilerek bir sonlu geometrik dizi elde ediliyor. Bu dizinin ortak çarpanı kaçtır?
Çözüm:
a1 = 10, a2, a3, a4, a5, a6, =320 a6 = r5.a1 320 = r5.10 32 = r5 r =2 dir.
16. İlk terimi 3/2 ve son terimi 3/32 olan sonlu bir geometrik dizinin terimleri toplamı 93/32 olduğuna göre ortak çarpan nedir?
Çözüm:
a1 = 3/2, an = 3/32, Sn = 93/32 dir. an = rn-1.a1 3/32 = rn-1.3/2 rn-1=1/16 ... (1) dir.
Sn = a1(1-rn)/(1-r) 93/32 = 3/2.(1-rn)/(1-r) 31/16=(1-rn)/(1-r)...(2) dir.
(1) ve (2) denklemlerinin ortak çözümlerinden r bulunur.r yi çekip yerine koyduğumuzda
r = ½ buluruz.
17. m.n, (m+1)(n-1), 2(m-1).n dizisinin hem aritmetik hem de geometrik dizi olabilmesi için n ne olmalıdır?
Çözüm:
Verilen dizi; hem aritmetik hem de geometrik dizi olduğuna göre sabit dizidir. Yani, terimler eşittir. Buna göre,
mn = ( m+1)(n – 1) = 2(m – 1)n dir.
mn = 2(m – 1)n m = 2m – 2 m = 2 dir.
mn = (m+1)(n – 1) 2n = (2+1)(n – 1) n = 3 tür.
18. 3. terimi 12 ve 13. terimi 3 olan geometrik bir dizinin 8. terimi kaçtır?
Çözüm:
a3 = 12 ve a13 = 3 a8 = (a3.a13)1/2 = (12.3)1/2 a8 = 6 dır.
19. (2/5)n-1 serisinin toplamı nedir?
Çözüm:
r = 2/5 olduğu için |r| < 1’dir. Buna göre, (2/5)n-1 = a1.1/(1-r) = 1.1/(1 – 2/5) = 5/3 tür.
20. 41 – n serisinin toplamı nedir?
Çözüm:
41 – n = 4.1/4n = 4 (¼)n dir. r = ¼ tür. |r| < 1 olduğuna göre,
41-n = 4 (¼)n 4.a1.1/(1-r) = 4.(1/4)-2.1/(1-1/4) = 4.42.4/3 =256/3 tür.
