Yeni sayfanın içeriği
BÖLÜM 8
GEOMETRİ
8.1 Geometri öğretim programı
Giriţ
Değişik ülkelerde uygulandığı biçimiyle geometri öğretimi için yapılan yaklaşımlarda çeşitlilikler vardır. Değişikliğin temelinde, geleneksel Öklit materyalinin ne derece korunduğu ve bunun tümdengelimli yapısı, geometrinin ne derece araştırmaya yönelik oluşu ve dönüşümsel geometrinin ne ölçüde kapsandığı yer almaktadır. Buradaki etkinlikte, üç değişik öğretim programını karşılaştıracak ve ayrıca araştırma yaparak, geleneksel Öklit’sel yapıyı işleyeceksiniz.
Etkinlik
A Öğretim programlarının yaş gruplarına uygunluğunu da göz önünde tutarak, belirtilen üç ülkede ilgili her bir yaş grubundaki öğrencilerin, neler işlediklerini gösteren bir çizelge hazırlayın.
B Gerek içerik gerekse matematiksel etkinlik türleri yönünden, elde ettiğiniz farklıklar ve benzerlikler hakkında notlar alın.
C Bunları grubunuzda ve sınıfta tartışın.
D Öklit teoremlerinin görüntülenmesi üzerinde çalışın. Oklar, üstte bulunan varsayımlardan kalkarak kanıtlanması gereken olası bir sıralamayı gösterir. Ancak, kimi oklar atılmıştır.
Gösterilen okların doğru olup olmadığını denetleyin (çeşitli seçenekler olduğunu anımsayın) ve daha sonra eksik kalan okları yerleştirin.
Ders programları - Türk Milli Eğitim lise öğretim programı
Geometri 1 dersinin amaçları
1 Nokta, doğru, düzlem, ışın ve uzayı kavrayabilme.
2 Nokta, doğru ve düzlem ile ilgili uygulama yapabilme.
3 Nokta, doğru ve düzlem arasındaki ilişkileri kavrayabilme.
4 Nokta, doğru ve düzlem ile ilgili uygulama yapabilme
5 Açı ile ilgili temel kavramları kavrayabilme.
6 Açılar ile ilgili uygulama yapabilme.
7 Üçgen ile ilgili temel kavramları kavrayabilme.
8 Üçgenlerin elemanları ile ilgili uygulama yapabilme.
9 Üçgenlerde benzerliği kavrayabilme.
10 Benzer üçgenler ile ilgili problem çözebilme.
11 Dik üçgenlerde metrik bağıntıları kavrayabilme.
12 Dik üçgenlerde metrik bağıntılar ile uygulama yapabilme.
Geometri 2 dersinin amaçları
1 Çokgenleri ve çeţitlerini kavrayabilme.
2 Çokgenler ile ilgili uygulama yapabilme.
3 Çember ile ilgili temel kavramları kavrayabilme.
4 Çembere iliţkin temel kavramlarla ilgili uygulama yapabilme.
5 Çemberde yay ve açılar ile ilgili temel kavramları kavrayabilme.
6 Çemberde yay ve açılara ilişkin temel kavramlarla ilgili uygulama yapabilme.
7 Çemberde teğet ve kesen parçalarının uzunluklarını kavrayabilme.
8 Çemberde teğet ve kesen parçalarının uzunlukları ile ilgili uygulama yapabilme.
9 Çemberde açı, yay, teğet, kesen, kuvvet ile ilgili problem çözebilme.
10 Düzlemde geometrik yeri kavrayabilme.
11 Düzlemde geometrik yer ile ilgili uygulama yapabilme.
12 Çokgensel bölgelerin alanlarını kavrayabilme.
13 Çokgensel bölgelerin alanları ile ilgili uygulama yapabilme.
Geometri 3 dersinin amaçları
1 Uzay ve uzay aksiyomlarını kavrayabilme.
2 Uyazda nokta, doğru ve düzlemle ilgili temel kavramları kavrayabilme.
3 Uzayda; nokta, doğru ve düzlem ile ilgili uygulama yapabilme.
4 Doğru ile düzlemin birbirine dikliğini kavrayabilme.
5 Doğru ve düzlemin birbirine dikliği ile ilgili uygulama yapabilme.
6 Düzlemlerin dikliğini kavrayabilme.
7 Düzlemlerin dikliği ile ilgili uygulama yapabilme.
8 Düzlemde bir noktanın ve bir şeklin bir doğru üzerindeki dik izdüşümünü kavrayabilme.
9 Bir noktanın ve bir şeklin bir doğru üzerindeki dik izdüţümleri ile ilgili uygulama yapabilme.
10 Uzayda bir noktanın ve bir şeklin bir düzlem üzerindeki dik izdüşümünü kavrayabilme.
11 Uzayda bir noktanın ve bir şeklin bir düzlem üzerindeki dik izdüşümü ile ilgili uygulama yapabilme.
12 Prizmayı, özeliklerini ve çeşitlerini kavrayabilme.
13 Prizmaların alanı ve hacimlerini kavrayabilme.
14 Prizmaların alan ve hacimleri ile ilgili uygulama yapabilme.
15 Pramitleri, alan ve hacimlerini kavrayabilme.
16 Pramitlerin alan ve hacimleri ile ilgili uygulama yapabilme.
17 Dairesel silindiri, alan ve hacmini kavrayabilme.
18 Dairesel silindirin alan ve hacmi ile ilgili uygulama yapabilme.
19 Dairesel koniyi, alanını ve hacmini kavrayabilme.
20 Dik dairesel koninin alanı ve hacmi ile ilgili uygulama yapabilme.
21 Küreyi, alanını ve hacmini kavrayabilme.
22 Kürenin alanı ve hacmi ile ilgili uygulama yapabilme.
Analitik geometri 1 dersinin amaçları
1 Analitik düzlemde uzaklığı kavrayabilme.
2 Analitik düzlemde uzaklık ile ilgili uygulama yapabilme.
3 Analitik düzlemde doğru denklemini kavrayabilme.
4 Doğrunun analitik incelemesi ile ilgili uygulama yapabilme.
5 Çemberi analitik olarak kavrayabilme.
6 Çember ile ilgili uygulama yapabilme.
7 Yönlü doğru parçasını ve vektörü kavrayabilme.
8 Yönlü doğru parçaları ile uygulama yapabilme.
9 Vektörlerle yapılan işlemleri kavrayabilme.
10 Vektörlerle yapılan işlemlerin geometrik yorumuyla ilgili uygulama yapabilme.
11 Analitik düzlemde vektörü kavrayabilme.
12 Analitik düzlemde vektörlerle ilgili uygulama yapabilme.
13 Vektörler kümesinde vektörlerin linear bileţimini kavrayabilme.
14 Vektörler kümesinde vektörlerin linear bileţimi ile ilgili uygulama yapabilme.
15 Vektörlerde iç çarpım işlemini kavrayabilme.
Analitik geometri 2 dersinin amaçları
1 Elipsi analitik olarak kavrayabilme.
2 Elips ile ilgili uygulama yapabilme.
3 Hiperbolü analitik olarak kavrayabilme.
4 Hiperbol ile ilgili uygulama yapabilme.
5 Parabolü analitik olarak kavrayabilme.
6 Parabol ile ilgili uygulama yapabilme.
7 Uzayda dik koordinat eksenlerini kavrayabilme.
8 Uzayda dik koordinat eksenleri ile ilgili uygulama yapabilme.
9 Uzayda vektörleri kavrayabilme.
10 Uzayda vektörlerle ilgili uygulama yapabilme.
11 Vektörlerde Oklid iç çarpımı işlemini kavrayabilme.
12 Vektörlerde iç çarpım işlemiyle ilgili uygulama yapabilme.
13 Uzayda doğru ve düzlem denklemlerini kavrayabilme.
14 Uzayda doğru ve düzlem denklemleri ile ilgili uygulama yapabilme.
15 Linear denklem sistemlerinin çözümünü ve bu çözümlerin geometrik anlamlarını kavrayabilme.
16 Linear denklem sistemleri ile ilgili uygulama yapabilme.
11 - 16 yaş grupları için İngiltere öğretim programları
DÜZEY ÇALIŞMA PROGRAMLARI ERİŞİM İFADELERİ
5
· açıları en yakın dereceye kadar ölçme a Verilen özelliklere sahip 3-boyutlu
ve çizme modeller oluţturun.
Prizmalar oluţturun
Verilen boyutlarda piramit biçiminde
bir hediye kutusu yapın.
· kesişen ve paralel doğrularla ve üçgenlerle b Açıklamaları kanıtlamak amacıyla ilgili özellikleri açıklama ve kullanma, ve ilgili şekillere ait özellikleri kullanın.
ortak dili bilme
Bir çizelgede eşit açıları belirlerken nedenleri verin.
· çeşitli şekillerin simetrilerini inceleme Çeşitli düzlemsel ve katı şekillerde bulunan simetri merkezlerini, simetri eksenlerini ve simetri düzlemlerini bulun.
· sorunları çözmek amacıyla c Sorunları çözmek için ağları
ağları kullanma kullanın.
· her bir dörtlük içindeki koordinatlar Bir kişinin pastayı teslim etmek
yardımıyla konumları belirleme amacıyla gerekli en kısa yolu bulun.
Daireler de dahil olmak üzere düzlemsel d Düzlemsel şekillerin ve düzgün katı şekillerin alanlarını ve çevre uzunluklarını cisimlerin alanlarını ve çevre
bulma uzunluklarını bulun.
Karelerin, diktörtgenlerin, üçgenlerin ve dairelerin alanlarını bulmak için gereken formülllerin hangileri olduklarını biliniz ve kullanın.
· düzgün katı cisimlerin Küplerin, küboidlerin ve silindirlerin
hacimlerini bulma hacimlerini bulunuz.
6
· çok sık rastlanan 3-boyutlu nesnelerin a 3-boyutlu nesneleri, 2- boyutlu
2-boyutlu gösterimlerinin farkında olma gösterimlerini kullanın.
ve kullanma
3-boyutlu nesneleri kağıt üzerinde gösterebilmek için izometrik kağıt kullanın.
· basit şekilleri bir ayna aracılığıyla b Bilgisayar ya da benzeri bir araç
yansıtma . kullanarak şekilleri dönüştürün.
· tamsayı bir ölçek katsayısı ile ţekillerin Verilen bir dikdörgenin içine düzgünce
büyütülmesi. yerleţtirilebilecek ţekilde bir ţekli büyütün.
· dörtgen türlerinin Mozaik ţekiller oluţturmak için
sınıflandırılıp tanımlanması dönüşüm ve simetri özelliklerini kullanın.
· dörtgenler ve diğer çokgenlere ilişkin açı
ve simetri özelliklerini bilme ve kullanma
· 2-boyutlu ţekillerin dönüţümü ve oluţumu
için bilgisayar kullanma
· gerekli şekil ve yolları üretmek
amacıyla bilgisayara yönelik yönergelerin
tasarlanması
· yönleri ifade etmek için kullanılan c Yönleri tanımlamak için kullanılan
rotaları anlama ve bunları kullanma rotaları anlayınız ve bunları kullanın.
Bir geminin ya da uçağın konumunu ifade etme ya da bir şamadıranın yerini saptama gibi gerçek hayattan örnekler aracılığıyla rotaları kullanın.
7
· 3-boyutlu koordinat sisteminde konum a 3-boyutlu koordinat sisteminde konum
belirlemek için koordinatları kullanma belirtmek için (x,y,z) koordinatlarını
kullanın.
Tepe noktasının koordinatları (3,2,0) ve buyutları 4,2,1 birim olan kübik şeklin koordinat sisteminde alabileceği olası birkaç konumunu bulun.
· bir kurala göre hareket eden bir nesnenin b Bir kurala göre hareket eden bir
geometrik yerini belirleme nesnenin geometrik yerini belirleyiniz.
Sabit iki noktadan aynı uzaklıktaki nesnenin geometrik yerini belirleyin.
İki sabit noktaya olan uzaklıklarının toplamı değişmeyecek şekilde yerleştirilen noktanın geometrik yerini bulun.
Basit bağlantılı bir çark ya da makara sisteminde parçaların göreceli hareketleri hakkında tahminler yürütün.
· Pisagor teoreminin anlaşılması ve c Pisagor teoremini kullanın
uygulanması uzunluğunu
Dik açılı bir üçgenin iki kenarına ilişkin değerler verilmişken üçüncüyü hesaplayın.
· düzlemsel ţekillerde ve katı cisimlerde d Düzgün düzlemsel şekillere ve katı
uzunluk, alan ve hacim hesapları cisimlere ilişkin hesaplamalar yapın.
için gereken bilgi ve becerilerin
kullanılması
· bir şekli kesirli sayı biçimindeki Dikdörtgenlerin, üçgenlerin, paralel
bir ölçek katsayısı kullanarak kenarların, küplerin, küboidlerin büyütme silindirlerin, prizmaların ve dik kesitleri sabit alana sahip olan üç boyutlu şekillerin boyutlarını bulun
8
· matematiksel benzerlik konusunu anlama ve a Sorunları çözmek amacıyla matematiksel kullanma; bunu yaparken açı benzerlik konusundan yararlanın.
değerlerinin değişmediğini ve bunlara
karşılık gelen kenarların aynı oranlar
oluşturduğunu bilme Büyütmenin doğrusal boyutlar üzerindeki etkilerini hesaplayın.
· 2-boyutlu düzlemde, sinüs, kosinüs b Dik üçgenlerde sinüs, kosinüs
ve tanjant kurallarınının kullanılması ve tanjant kurallarını kullanın
Düzlemsel şekillerde uzunluk ve açı değerlerini bulmak için sinüs, kosinüs ve tanjant kurallarını kullanın.
· şekillerin boyutlarını esas alarak, çevre, c Şekillerin boyutlarını ele alarak verilen
alan ve hacim için verilen formüllerin formülleri birbirinden ayırın.
birbirinden ayrılması
p d ile verilen değerin bir doğrusal ölçüm olduğunu p r2 ile verilen değerin ise alan verdiğini bilin
4p r2 , 4p r3 / 3, p r2 h / 3 ve r (p + 2) gibi formüllerden örneğin hangisinin hacim değeri vereceğini, diğerlerinin de hangi birimi ifade ettiğini inceleyin.
· vektörel gösterimin anlaşılması ve kullanımı
9
· düzlemsel kesitleri ve trigonometrik a Düzlemsel şekiller ve üç boyutlu katı
oranları kullanarak katı cisimlerde açı ve cisimlerde gerekli hesaplamaları uzunluk değerlerini hesaplama yapın.
Kare piramidin kenarının tabanı ile yaptığı açıyı bulun.
· eş üçgenler için gerekli koşulların ne Karşılıklı gelen özelliklerine göre iki
olduklarının anlaşılması üçgenin eş olduklarını kanıtlayın.
· benzer şekillerin yüzey alanları ve 3-boyutlu Tasarımı yapılan bir giysi modelini
katı cisimlerle hacimleri arasındaki ilişkileri büyütürken ne boyutta kağıt
anlama ve bunları kullanma kullanılacağını öğrenin.
· dairesel yayların çevreleri ve çevreleri dairesel Verilen bir ölçek katsayısı aracılığıyla,
yay içeren yüzey alanlarını hesaplama; yedi adet küp kullanarak oluţturulan
silindirlerin yüzey alanlarını, koni ve modeli büyütmek için kaç tane yanyana kürelerin hacimlerini hesaplama gelmiş küp gerektiğini bilin.
Merkez açının 135° olduğu sırada 12 cm’lik yarıçapa sahip bir daireye ait daire diliminin cismini ve alanını hesaplayın.
· vektörlerin toplama ve çıkarma b Sorunların çözümünde vektör
kurallarının anlaşılması ve kullanımı yöntemlerini kullanın.
Bir nesneye iki değişik yönden kuvvet uygulanması ile oluşan bileşke kuvveti bulun.
Bir uçağın gerçek hızı ve durgun havadaki hızı verildiğinde rüzgarın hızını hesaplama.
· istenen büyüklükteki açıların sinüs, c Herhangi bir açı için sinüs, kosinüs ve
kosinüs ve tanjant değerlerinin bulunması tanjant değerlerini kullanın.
· tüm açılar için sinüs, kosinüs ve tanjant
fonksiyonlarının grafiklerinin çizilmesi
· hesap makinası ya da bilgisayar kullanarak
trigonometrik fonksiyonların oluşturulması
ve bunların yorumlanması
10
· dairenin açı ve teğet özelliklerinin bilinmesi 2 ya da 3-boyutlu uzayda sorunlar
ve bunların kullanımı çözün.
· 3-boyutlu basit durumların da dahil olduğu Bilgisayar yazılım programı ya da
problemlerde, sinüs ve kosinüs kurallarının benzeri bir araç kullanarak, verilen iki kullanılması dönüşümün bileşimi olan dönüşümü
bulun.
· dönüţümlerin, kombinasyonlar ve ters
işlemlerle nasıl bir ilişki içerisinde
olduğunun anlaşılması
· 2-boyutlu uzayda dönüşümleri tanımlamak
amacıyla matrislerin kullanımı
9-12 yaştaki öğrenciler için ABD öğretim programları (14-17 yaş)
Yapay bir bakış açısı altında geometri
9-12 yaş seviye gruplarında, matematik öğretim programının sürekli olarak iki ve üç boyutlu geometri çalışmasını içermesi gerekmektedir. Böylece öğrenciler,
· üç boyutlu nesneleri yorumlayabilecek ve çizebilecekler,
· problem durumlarını geometrik modellerle betimleyebilecek ve şekillerin özelliklerini uygulayabilecekler,
· şekilleri eşlik ve benzerlik anlamında sınıflandırıp, bu ilişkileri uygulayacaklar ve,
· verilen varsayımlardan kalkarak şekillere ilişkin özellikler ve aralarındaki ilişkiler hakkında sonuçlar çıkaracaklardır.
Ve ayrıca, üniversiteyi hedefleyen öğrenciler de,
· çeşitli geometrileri araştırarak ve karşılaştırarak betimsel bir sistemi anlayabileceklerdir.
Cebirsel bir bakış açısı altında geometri
9-12 yaş seviye gruplarında, matematik öğretim programının, iki ve üç boyutlu geometri çalışmasını cebirsel bir bakış açısı altında içermesi gerekmektedir. Böylece öğrenciler,
· sentetik ve koordinat gösterimleri arasında dönüşümler yapabilecekler,
· dönüşümleri ve koordinatları kullanarak şekillerin özellikleri hakkında sonuçlar çıkarabilecekler,
· dönüţümleri kullanarak eţleţik ve benzer ţekilleri inceleyebilecekler,
· Öklit dönüţümlerinin özelliklerini çözümleyebilecek ve ötelemeleri vektörlerle ifade edebilecekler,
ve ayrıca, üniversiteyi hedefleyen öğrenciler de,
· vektörleri kullanarak şekillerin özellikleri hakkında sonuçlar çıkarabilecekler ve
· sorun çözümünde dönüşümleri, koordinatları ve vektörleri uygulayabileceklerdir.
Öklid teoremlerinin düzenlenmesi
8.2 Kanıt ve aksiyom sistemleri
Giriţ
Matematik öğretiminin her aşamasında kanıtın önemli olmasına karşın, kanıt genelde okullarda geometri dersinde karşımıza çıkar. Gerçekte bu durum büyük ölçüde, Öklit’in kitabının başarısından kaynaklanmaktadır. Şimdi geometrideki öğretim programlarına girmeye başladığımıza göre kanıtın doğal yapısını daha yakından incelemek yararlı olacaktır.
Etkinlik
A Verilen metni, belirtilen ifadeleri denetleyerek, verilen alıştırmalar üzerinde çalışarak ve konuyu daha iyi kavrayabilmek için kendi hazırlayacağınız alıştırmaları da yaparak dikkatlice okuyun.
B İleride öğretmenlik yapacağınız sınıflarda, kanıtlama için kullanabileceğiniz en uygun yaklaşımın nasıl olması gerektiği hakkında notlar alın.
C Bunları grubunuzda ve sınıfta tartışın.
|
Kanıt ve aksiyom sistemleri
Okuyucunun, Öklit geometrisini çalışırken, matematiksel kanıt konusunda bir takım deneyimleri ve aksiyomatik matematik sistemiyle ilgili anladığı bazı şeyler olabilecektir. Böyle bir sistemde her teorem, sadece önceden kanıtlanmış teoremler ve mantık yasaları kullanılarak kanıtlanmalıdır. Dizinin ilk teoremleri, sezgisel olarak akla uygun görülen birkaç temel aksiyomdan yararlanılarak kanıtlanır. Böylece kirişler dörtgeninin karşıt açılarının bütünler açılar olduğunu belirten teoremin kanıtını geriye doğru izlersek, önce, dairenin merkezindeki açı, aynı yayı gören çevre açının iki katıdır teoremi; daha sonra da bir üçgenin dış açıları ve bir ikizkenar üçgenin taban açılarının eşitliği teoremlerinde bulunabilir. Bu teoremler sırayla şunlara dayanır. 1 Bir çapraz ve bir çift paralel doğru arasındaki yöndeş açılar ile dışters açıların eşitliği 2 İki kenarı ve içindeki açıları eşit olan iki üçgenin eşitliği. Bu anlatılanlar Şekil 1 ‘de gösterilmiştir. 1 ve 2 ifadeleri aksiyom olarak ele alınabilir. Bu ifadeleri kanıtlamaya girişilmez.
Alıştırma
Üç tane geometrik teorem seçin ve geriye yönelik olarak bunların kanıtlarını izleyin. Bu teoremlerin, yukarıdaki (i) ve (ii) aksiyomlarından kalkarak kanıtlanabileceğini göstermeye çalışın.
Bu alıştırmanın sonucu şudur, bir teorem, aksiyomlara başladığımız yer kadar aynı derecede sağlam kanı taşır. Eğer aksiyomların uygulanabileceği kanısına varılırsa, teoremin de aynı olacağı kanısına varılmış olur. Bununla beraber, hala iki nokta tartışma yaratmaktadır. Bunlardan birincisi tanımlar sorunudur. Daireyi, üçgeni ya da özdeşliği; nokta, çizgi, uzaklık gibi temel terimlerle tanımlamak daha kolaydır. Ama bu temel kavramları daha kökten herhangi bir şeyle tanımlamak zordur. Öklit, nokta, boyutu olmayan şeydir ve ‘Doğru, genişliği olmayan uzunluktur.’ demişti. Bu ifadeler, nokta ya da doğru özelliklerinin temel kanıtları olarak kullanılamadığı gibi bize bu terimlerin ne olduğunu anlatamaz. Noktayı ya da doğruyu tatmin edici bir şekilde kanıtlayamadığımız halde, aksiyom olarak ele alınabilecek ve teoremleri kanıtlamak için kullanılabilecek kesin ifadelerde bulunulabilir. Örneğin, herhangi iki nokta, tek bir düz doğru üzerinde yer alır ve İki düz doğru birden fazla noktada kesişmez. Nokta ve doğru, tanımsız terimler olarak kalmaktadır. Böylece bir matematik sisteminin standart şekli şöyle olmaktadır:
|
Tanımsız terimler
Bu terimler arasında ilişkileri başlatan
aksiyomlar, Daha sonraki terimlerin
tanımları; Yukarıda türetilenler arasındaki
iliţkileri veren teoremler.
Bu örüntüyü örneklemek amacıyla çok basit matematiksel sistemlerinden bazı örnekler verilecektir. Kitabın geri kalanında daha karmaşık örnekler verilecektir.
|
|
Bir çakışma yapısı
Tanımsız terimler: küme, eleman, üye.
Aksiyomlar
1 Her a elemanı ve her S kümesi için, a ya S’nin bir elemanıdır ya da değildir.
2 Her küme çiftinin en az bir tane ortak elemanı vardır.
3 Her eleman çifti, yalnızca bir kümede yer alır.
4 Her küme yalnızca üç tane eleman içerir.
5 En az iki tane küme vardır.
Bu yapının özelliklerini keşfedip bir takım teoremlere ulaşılacaktır. 5. aksiyoma göre, en azından iki tane kümemiz var. Bu kümelere P ve Q diyelim. 2. ve 4. aksiyomlara göre, bu kümelerin ortak bir elemanı vardır; a ortak eleman olsun. Her kümenin iki tane daha elemanı vardır. P kümesinde a, b, c ve q kümesinde a, d, e elemanları olduğu düşünülebilir. 3. aksiyoma göre ise, bd, be, cd, ce çiftlerini içeren kümeler bulunmalıdır, bu kümelere de R, S, T, U diyelim. Aksi söylenmedikçe bu kümelerden ikisi çakışmamaktadır. Örneğin, S ve U aynı küme olsaydı, bc çifti hem bu kümede hem de P kümesinde yer alırdı; bu da 3. aksiyoma ters düşerdi. Benzer bir biçimde R kümesi, yukarıda adı geçen elemanlardan üçüncü bir tanesini kapsayamaz. Bu yüzden f adında altıncı bir eleman olması gerekir. S, T ve U kümelerini doldurmak için yalnızca bir tane daha eleman, g, gereklidir. Bundan sonra aşağıdaki düzenlemeyi yapabiliriz:
P abc R bdf T cdg
Q ade S beg U cef
Ţimdi, herhangi bir kümede yer almayan bir fg çiftimiz var. Dolayısıyla 3. aksiyoma göre bu çifti kapsayacak bir V kümesi olmalı. Yukarıdaki şemada yer alan çiftleri denetlemek, bu kümenin üçüncü elemanının a olması gerektiğini göstermektedir. Yedi eleman ve yedi küme sistemi, bütün aksiyomlarla örtüşmektedir. Fakat bunu bir teorem olarak ifadelendirmeden önce, sisteme daha başka elemanlar eklenip eklenemeyeceğini düşünelim.
Yedi nokta ve yedi çizgi geometrisi
|
Eğer yeni bir W kümesinde yer alan bir h elemanını eklersek, 2. Aksiyom W kümesinin var olan yedi kümenin herbiriyle ortak bir elemana sahip olmasını gerektirecektir. Bu durum 4. Aksiyomla bağdaşmamaktadır. Dolayısıyla, şu teorem söylenebilir.
Teorem ‘Kesinlikle yedi küme ve yedi eleman vardır.’
Bu çözümlemeye göre, her eleman kesinlikle üç kümenin içinde yer alır.
Bu matematiksel yapı, bir çok değişik yolla daha somut bir biçimde gerçekleştirilebilir. Eğer elemanları nokta, kümeleri doğru ve ‘yer almayı’ ‘bulunma’ olarak yorumlarsak, yedi nokta ve yedi doğrudan oluşan sonlu bir geometri elde edilmiş olur. (Şekil 2a) (Doğrular Öklidyen doğrular olarak adlandırılamazlar. Bunlar basit bir şekilde verilen noktalar arasındaki birleşim olarak düşünülürler.) Yapımızda yer alan elemanları doğrular, kümeleri de noktalar olarak yorumlamak eşit derecede geçerli olacaktır. Bu durumda, üyelik ilişkisi artık içinden geçme anlamına gelmektedir. Sonuçta elde edilen geometri, Şekil 2b’de gösterilmiştir. Bu, Şekil 2a’deki gibi aynı görünümü vermektedir. (Bu, özeţlenik bir görünümdür.) Başka bir yorum da, elemanları bir ana grubun üyeleri; kümeleri de alt-gruplar olarak ele almaktır. Bundan sonra araştırmamız, yedi tane üyeyi her bir kümede üç üye olacak şekilde yedi alt gruba nasıl bölüştürebileceğimizi gösterir. Her grup, her bir diğer gruptan bir temsilci içerir ve hiç bir üye çifti bir gruptan fazlasında yanyana gelmez. Burada bir çok değerli bir yapı örneği sözkonusudur. Bu örnekte, değişik pek çok biçimde gerçekleşme olanağı vardır.
Alıştırmalar
1 Yukarıdaki 3-5 aksiyomlarının aşağıdakilerle değiştirildiği yapıyı gözönünde bulundurun.
3 Her bir eleman kesinlikle iki kümenin üyesidir.
4 Dört tane küme vardır.
Tam olarak altı tane elemanın olduğunu ve ayrık bir eleman ikilisini, herhangi bir küme içinde kapsanmayan bir ikili olarak tanımlayarak, her elemanın ayrık olduğu yalnızca bir elemanın bulunduğunu gösterin.
Bu yapıyı ve teoremleri, noktaları ve doğruları iki değişik yolla tanımlayarak ve grup üyelerinden yararlanarak yorumlayın. Bu durumda sonuçta elde edilen geometrik şekiller özeşlenik midir?
2 Yukarıdaki örnekte yer alan 4. aksiyomu çeşitlendirin ve sonuçta elde edilen sistemi araştırın.
3 (Daha zor) Bir projektif ders kitabında Desargues ve Pappus Teoremlerine bakın. Bu şekillerin her biri için bir aksiyomlar kümesi tasarlamaya çalışın.
|
|
Mantık
Şimdi Öklit geometrisinin tümdengelimsel gelişiminin tartışılmasından kaynaklanan ikinci noktayı ele alalım. Bu nokta, ‘bir önceki ifadeyi takip ederek ortaya çıkan ifade’ olarak söylenebilecek mantık kurallarıdır. Bu konu tartışılmayacaktır. Birkaç önemli noktayı yorumlayıp daha sonra kullanılacak bir takım sembolleri sunacağız.
Örneğin bütün teoremler, ‘p ise q’ biçimine sokulabilir. Eğer A; B; C bir üçgenin açılarıysa, o zaman A + B + C = 180°‘dir. Bu ilişki aynı zamanda ‘p, q’yu gerektirir’ biçiminde de ifade edilebilir ve sembolik olarak pÞ q diye yazılır.
Bir teoremi kanıtlamak demek, her biri öncekinden ya da önceden elde edilenlerden çıkartılan bir dizi çıkarım yapmak anlamına gelir. Bu işlem, p ile başlayıp q ile bitmelidir. Bunu sembolik olarak ţöyle gösterebiliriz:
pÞ r, rÞ s, ( s ve p) Þ t, tÞq; dolayısıyla
pÞ q.
Teorem, ‘Eğer A, B, C bir üçgenin açıları ise, o zaman A + B + C =180°‘dir’ demektedir. Bu teorem, A, B, C’nin bir üçgenin açıları olmadığı durumda ne olacağı hakkında hiç bir şey söylememektedir. Bu tür bağlaçların gündelik kullanımında durum o kadar açık değildir. Eğer ben, ‘yarın yağmur yağarsa maça gitmeyeceğim’ dersem, bu durumda yağmur yağmazsa maça gideceğimi ima etmiş olabilirim. Karmaşa, bir çok matematiksel teoremin gerçekte her iki yönde de doğru olmasından kaynaklanmaktadır. Örneğin, bir dörtgen paralelkenarsa, o zaman köşegenler birbirini ortalarlar. Şu da doğru bir ifadedir: bir dörtgen paralelkenar değilse o zaman köşegenler birbirini ortalamazlar. Terimleri çok dikkatli bir biçimde kullanmalıyız. Eğer ‘p ise q ‘, ‘eğer p doğruysa’ ifadesini takip eden şey hakkındaysa, p’nin doğru olmaması durumunda ne olacağı hakkında hiç bir şey söylemez.
‘Eğer A, B, C bir üçgenin açıları değilse, o zaman A + B + C ¹180’ ifadesi, orijinal ifadenin tersi olarak adlandırılır. Sembolik olarak,
pÞq’nun tersi, p-değil Þq-değildir ya da p-değil için ~p kullanılarak ~p Þ~q da denilebilir. Görüldüğü gibi ters ifade, orijinal teoremden çıkmaz. Gerektirmeyle ile mantıksal olarak ilişkili iki tane daha ifade vardır; çevrik qÞ p ve karşıt ters
~q Þ~p. Şekil 3, tartışma konusu olan dört tane ilişkili ifadeyi göstermektedir. Karşıt ters ifadenin doğru, çevrik ifadenin ise yanlış olduğu açıktır. Bu durumda, daha da ötesinde, karşıt ters ifadenin orijinal teoreme denk olduğu, ve çevrik ve ters ifadelerin birbirlerine denk olduğu açıktır. İfadelerin anlamı hakkındaki düşünceler bunu açık kılmaktadır.
|
A; B; C bir üçgenin A+B+C= 180°
açılarıdır.
Teorem
A; B; C bir A+B+C¹180°
üçgenin açıları
değildir Tersi
A; B; C bir
A+B+C= 180° üçgenin açılarıdır. Çevrik
A+B+C¹180° A, B, C bir
Karşıt üçgenin açıları
ters değildir
Ţekil 3 Dört tane iliţkili ifade
Bu, sembolik olarak da gösterilebilir. Bunu yapmak için şu olguyu kullanmak uygun olacaktır.
p Þq, ‘(p ve ~q) yanlıştır’ ifadesine denktir. p’nin
doğru olup q’nun doğru olmadığı ifade, pÞ q ifadesi tarafından dışlanan bir durumdur. O zaman,
~q Þ ~p, ‘(~q ve ~(~p)) yanlıştır’ ifadesine denktir. Bu da, p Þq ifadesine denk olmaktadır. Benzer bir biçimde q Þp, ‘(q ve ~p) yanlıştır’ ifadesine denktir.
~p Þ~q ifadesi ise (~p ve ~ (~q)) yanlıştır ifadesine denk olmakta, dolayısıyla q Þp, ~p Þ ~q denkliği ortaya çıkmaktadır. Bu fikirleri sergilemek için başka bir örnek de kullanabiliriz: Pisagor teoremi.
Teorem: p Þq: Eğer D ABC üçgeninin A açısı dikse, o zaman BC2 = AB2 + AC2’dir.
Tersi: ~pÞ ~q: Eğer D ABC üçgeninin A açısı dik değilse, o zaman BC2 ¹ AB2 + AC2’dir.
Çevrik: qÞp: Eğer Eğer BC2 = AB2 + AC2 ise,
D ABC üçgeninin A açısı diktir.
Karşıt ters: ~qÞ ~p: Eğer BC2 ¹ AB2 + AC2 ise,D ABC üçgeninin A açısı dik değildir.
Bu durumda hem teorem hem de önermenin doğru olduğu kanıtlanabilir. pÞq ve qÞp gereksinmelerimiz var ve pÛq yazılır bunu p, q’yu gerektirir ve q, p’yi gerektirir veya p, q’ya denktir diye ifade edilir. Diğer kullanım çeşitleri: ‘p, yalnızca ve yalnızca q’dur’ ve ‘p, q için gerekli ve yeterli bir koşuldur’.
|
8.3 Öklit’ i keţfetme
Giriţ
Aşağıda yer alan kısa etkinlik geleneksel Öklit geometrisinin çeşitli yönlerini geliştiren üç sorunu alışılagelenden farklı bir bakış açısıyla ortaya koymaktadır. Bunların tümü ciddi araştırmalara dönüştürülebilir. Burada amaç geleneksel materyalin daha zengin bir etkinliğe nasıl çevrilebileceğinin gösterilmesidir. Etkinliğin ne şekilde izleneceği burada işlenen üç bölümde verilmiştir.
Eţ çokgenler?
Eğer üç kenarı ve iki iç açısı
diğerinin üç kenarı ile ve eşit kenarlar
arasındaki iki açısı karşılıklı olarak eşitse,
bu dörtgenler birbirine eţtir. (KAKAK)
Bu ifadenin doğruluğunu kontrol edin.
Bir dörtgenin kesin olarak belirlenebilmesi için en az kaç tane bilgi gerekmektedir?
Üçgenler için gereken eşlik koşullarını yazın. Bunlardan herbirini, eşlik açısından, dörtgenlere genişletmeye çalışın. Yorumunuzu yazın.
Ţekil içinde ţekil oluţturma
Verilen bir üçgenin içerisine, her bir köşe noktası, içerisinde bulunduğu üçgenin kenarları üzerinde bulunacak biçimde bir eşkenar üçgen çizin.
Bu eşkenar üçgeni istenilen biçimde çizmenin pek çok yöntemi vardır. Bunlardan bazıları şekillerde gösterilmiştir.
Yukarıdaki şekilde, A¢AB doğru parçası üzerinde bir nokta olarak seçilmiş, buna göre D¢AB açısı 30° olacak. Biçimde BC doğru parçası üzerinde D noktası elde edilmiştir. A’D doğru parçasından çizilen dik açıortay E noktasını verir. A¢ ve D noktalarından geçen ve merkezi E noktasında olan çember, AB doğru parçasını F noktasında keser. O zaman DEF üçgeni bir eşkenar üçgen olacaktır.
Bunu kanıtlayın.
2 Diğer bir yöntem, BC doğru parçasını D noktasında kesecek biçimde, A açısının açıortayını çizmekle işe baţlar.
Bunu sürdürün ve elde ettiğiniz sonucu kanıtlayın.
3 Okumayı sürdürmeden önce, daha başka yöntemler arayın.
Genel olarak kullanılan bir yöntem, istenilen üçgeni konulabilecek daha kolay bir konumda yerleştirmek ve daha sonra verilen üçgen içerisinde istenilen yere hareket ettirerek yerleştirmektir.
Aşağıda verilen şekilde, BCX üçgeni ilk olarak BC doğru parçası üzerine yerleştirilmiştir.
Oluşumun nasıl tamamlanması gerektiğini gösterin.
Aynı işlemi verilecek bir üçgen içerisine kare yerleţtirerek yineleyin.
Bu konu üzerinde kendi açılımlarınızı gerçekleştirin.
Dörtgenlerin sınıflandırılması
Aşağıda verilen çizelgede boş bırakılan yerlere, ifade edilen koşullara uygun bir örnek şekil yerleştirin.
Eğer bu ifadeye uygun bir örnek şekil yoksa, neden olamayacağını açıklayın.
Paralel olan kenar çiftlerinin sayısı
0 1 2
Dik
açıların 0
sayısı
(tam
olarak)
0 tane dik açı 0 tane dik açı 0 tane dik açı
0 paralel kenar 1 çift paralel kenar 2 çift paralel kenar
1
1 tane dik açı 1 tane dik açı 1 tane dik açı
0 çift paralel kenar 1 çift paralel kenar 2 çift paralel kenar
2
2 tane dik açı 2 tane dik açı 2 tane dik açı
0 çift paralel kenar 1 çift paralel kenar 2 çift paralel kenar
3
3 tane dik açı 3 tane dik açı 3 tane dik açı
0 çift paralel kenar 1 çift paralel kenar 2 çift paralel kenar
4
4 tane dik açı 4 tane dik açı 4 tane dik açı
0 çift paralel kenar 1 çift paralel kenar 2 çift paralel kenar
Olanaksız durumlar için, kanıt yapmaya özel bir özen gösterin.
Bu düşünceyi diğer türdeki çokgenleri-altıgenleri ve yedigenleri-sınıflandırmak amacıyla genişleterek uygulayın.
8.4 Geometri ve gerçek hayat
Giriţ
Bu etkinliklerin her ikisi de, geometrinin gerçek yaşamdaki uygulamaları ile ilgili iki noktayı ele almaktadır. Bunlardan ilkine göre, kitaptan alınan ve gerçeklerle pek uyuşmayan tipik soruları kullanmak yerine gerçek yaşamdan uygulamalar bulmak olanaklıdır ve yapılmaya değerdir. İkincisi ise, gerçek yaşam sorunlarının önemini ortaya çıkarmaktır. Örneğin bir nesnenin boyutları büyütüldüğü zaman alanı karesi ile, hacmi ise küpü ile orantılı olarak artacaktır. Örneğin bebeklerin, yetişkinlere oranla daha sıkı giyinmelerinin nedenini de bu durum ortaya koymaktadır. Diğer benzeri sorular aşağıda tartışılmıştır.
Etkinlik
A Her bölümü ayrı ayrı ele alınız.
B Futbol problemini okuyun ve üzerinde çalışın. Var olan koşulları değiştirerek durumu bir bütün olarak inceleyin.
C Kitapta yer alan bir sorunu, gerçek yaşam ile doğrudan ilgili bir sorun
durumuna dönüştürülebileceği diğer örnekleri de düşünmeye çalışın. Bu konuyu grubunuzla beyin fırtınası biçiminde tartışın.
D Logo tasarımı konusundaki sorunu çalışın.
E ‘Aşağı ve yukarı doğru ölçekleme’ adlı metni okuyun. Kendinizin bulduğu bir formül geliştirerek çalışacağınız bu metni anladığınızdan emin olun.
F Grubunuzla bu prensiplerin diğer görünümlerini düşünün. Bir sınıf tartışması belki yararlı olabilir.
G Eğer yapabilirseniz, bunlardan bazılarını okuldaki öğrencilere uygulayın. Öğrenciler bunları ilginç bulacaklardır.
Pratikleţme
1 Bir gemi limandan 8 knot hızda kuzey-doğu yönünde hareket ederek ayrılmaktadır. Bir başka gemi ise güney-doğu yönünde 16 knot hızla gitmektedir. İki saat sonra birbirlerine olan uzaklıkları ve konumları ne olacaktır?
Yukarıdaki şekil,1.sorunun yanıtını göstermektedir. Bu tür sorunlarda, öğrencilerin pratik durumlarda büyük bir olasılıkla hiç bir zaman karşılaşmayacakları bir konum ortaya çıkmaktadır. Konuyla doğrudan ilgili açıklamalara bu yüzden bakmakta yarar vardır-örneğin futbol konusu.
2 Sol tarafta taç noktasından atak yapan bir futbolcu 8 m/sn bir hızla gol noktasına 45° bir açı yapacak biçimde koşmaktadır. Aynı anda bu futbolcunun koşu yönüne 32 m dik uzaklıkdaki bir başka orta saha futbolcusu, topu atak yapan oyuncuya doğru atacaktır ve top 3 sn sonra bu futbolcuya ulaşacaktır. Orta saha oyuncusu topu hangi açıyla ve hangi yatay hızla pas olarak vermesi gerekir?
Bu sorun, verdiğimiz ‘gemi’ sorunu örneği ile aşağı yukarı aynı matematiği içermektedir, fakat bu örnek sorun öğrencinin daha çok ilgisini çekmektedir; belki de daha ilginç olan şey, oyuncunun pası ne kadar uzağa atması gerektiğinin hesaplanmasıdır.
· Niçin olabilecek en büyük böcek vardır?
· Niçin olabilecek en büyük kuş vardır?
· Küçük çay bardakları ya da çaydanlıklar neden daha çabuk soğur?
· Fillerin neden geniş ayakları vardır?
· En büyük memeli neden balinadır?
Bir cismin tüm doğrusal boyutları 3 (ya da x) ile ölçeklenirse, alanının artışı 9 (ya da x2) ve hacminin artışı 27 (ya da x3) olacaktır. Bu bütünleştirici bir ilkedir. Öyleyse, örnek olarak aşağıda verilen oransal işlemde, elde edilen değer bir önceki değerin üçte birine ( ya da 1/x) düţecektir.
yüzey alanı = S = 9S o
hacim V 27Vo
Bu örneklerden bazılarına şimdi daha detaylı olarak bir göz atalım. Doğrusal ölçek için burada L’yi (örneğin boy) ve ‘sabitler’ için de bunlardan bağımsız küçük harfler kullanılacaktır. Bu örneklerden bazıları - ki bunlar arasında biyoloji ile ilgili örnekler de vardır- baskısı J. R. Newman tarafından yapılan,ve yayıncılığını da Allen & Unwin şirketinin üstlendiği, J.B.S. Haldane’in ‘On being the right size’ adlı eserinde yer almıştır.
Niçin olabilecek en büyük böcek vardır?
Böcekler oksijeni vücutlarının yüzey alanlarından emerler, S = aL2. Böceklerin ciğerleri yoktur, fakat kaslarının mekanik hareketini gerçekleştirebilmek için gerekli oksijeni vücut hacimleriyle orantılı olarak edinirler, W = wL3. Bu arada vücut yüzey alanından ısı kayıpları da olur, ama bu durum bahsettiğimiz konuya aykırı değildir. Nedenini matematiksel olarak sınayın. Öyleyse yeterince oksijen için, şu miktara gereksinim vardır.
aL2 > k(wL3)
L < a/kw @ 10 cm (böcekler için)
Bu boyuttan büyük hayvanların, küçük tüpler şeklinde çok sayıda hava boruları ve bunların da oldukça geniş bir yüzey alanı vardır. Öğretmenler burada bahsedilen varsayımları tartışabilirler.
Küçük çay bardakları neden daha çabuk soğur?
Buharlaşma yolu ile yüzey alanı üzerinde gerçekleşen ısı kaybı miktarı dakikada
H = hL2 ve d kadarlık bir sıcaklık düşüşünde yitirilen ısı miktarı hem hacimle hem de d ile doğru orantılıdır.
H = cL3d
ve
d= h/c x l/L
Böylece, belli bir zaman aralığında sıcaklık değerinin d kadar düţmesi, L değeri arttıkça azalacaktır. Daha kaba bir değişle - çapın üç kat artması, ısı yitiminin dokuz misli, ısı kapasitesinin 27 misli ve buna göre de sıcaklık değerinin 1/3 oranında düşmüş olması anlamına gelmektedir. Konveksiyon soğuma da yüzey alanı ile orantılı olduğu için aynı yorumu bunun için de yapmak olanaklıdır.
Fillerin neden geniş ayakları vardır?
Yine aynı şekilde, M = mL3 ağırlığı, ayakların gücünden daha hızlı artar. Ayakların gücü de kemik ve kasların kesit alanı ile, S = sL2 , orantılıdır.
Öyleyse, ölçeklendirilmiş bir hayvan için bacakların orantısal olarak daha kalın olması gerekir-buna göre karada yaşayan en kalın bacaklara sahip hayvan fildir. (Ayrıca, gergedan ve su aygırına da bakın.) Zürafa da çok ince bir vücuda sahip olması ile diğer olasılıktan yararlanır. Balina ise tümüyle desteklenir ve yapısı açısından herhangi bir parçalanmaya neden olmaksızın olabildiğince büyüyebilir. Bu durum verdiğimiz ilk listedeki son soruya bir yanıt vermektedir.
Buna benzer boyutsal ölçekleme tartışmaları, uzunluğun bağımsız değişken konumunda olduğu durumlar için sınırlanamaz. Örneğin, bilinen doğal yollarda arabaların ulaşabileceği bir hız sınırı mutlaka vardır, çünkü sürücünün görebileceği mesafe aşağı yukarı aracın hareket halinde iken ulaştığı hızdan bağımsız bir değişken konumundadır. Bu arada en kısa durabilme mesafesi bu değerin karesi ile orantılıdır. İvme değeri de yaklaşık g = 10 m/s2 ile sınırlanmıştır. Gerek durma süresi gerekse ortalama hız, hız ile doğru orantılıdır. Durma mesafesi 500 m olarak verilen d değeri ile sınırlanan hız;
V =
ya da yaklaşık saatte 125 km olarak verilir. Gerçek ve yasal hız sınırını etkileyen etmenlerin, burada belirtilen hızın yaklaşık üçte birini oluşturduğu düşünülebilir.
8.5 Analitik geometri ve 3-boyutlu uzayda problemler
Giriţ
Analitik geometride, temelde yoğunlaşılması gereken odak noktasının, doğrular ve çemberler gibi basit nesnelerin cebirsel gösterimleri üzerinde olması çok sık rastlanan bir durumdur. AB doğrusunun denklemi nedir ? gibi sorularla sık sık karşılaşılır. Fakat bu konunun gerçek ve temel amacı, geometrik sorunların çözümü için geçerli ve güçlü bir yöntem ortaya koymaktır. Örneğin bükey bir yansıtıcının odak noktasındaki nokta halindeki ışık kaynağı paralel bir ışık demeti oluşturacaktır. Aynı ilke, çanak uydu alıcısının şekli için de uygun olacaktır. Veya, standart bir ampulün duvar üzerinde oluşturduğu gölgenin şekli nasıldır? Ya da, A ve B sabit noktalarına göre göre hareket eden P noktası, PA + PB sabit tutulursa bir elips oluşur ve elips de çemberin paralel bir izdüşümüdür. Okulda yapılan çalışmada, eğer öğrencilerin konunun temelini öğrenmeleri isteniyorsa, üzerinde yoğunlaşılacak odak noktasının çok açık olması gerekir. Bu amaca ulaşmaya yardımcı olmak için, bu etkinlik kapsamında birtakım sorunlara yer verilmiştir. Aynı şekilde, 3-boyutlu geometri de, genelde kısır teoremlerden oluşan, ve analitik yapısında yukarıda belirtilenlerle aynı eleştirileri taşıyan bir birleşimdir. Bu etkinlik konunun amaçlarına yönelik kimi sorunları da vermektedir. Bu bölümün sonundaki öğrenci çalışma yaprakları S. Bulut, C. Ekici, A. İşeri ve E. Yenal tarafından hazırlanmıştır.
Etkinlik
A Bu sorunlardan bazılarını incelemek için seçin.
B Bunlara benzer sorunları siz de hazırlayın.
C Bu konu üzerinde yapacağınız bir sonraki öğretime uygun birtakım sorunlar hazırlayın.
Analitik geometri için amaca yönelik sorunlar
1 Aşağıda yer alan kimi noktaları araştırın. Bunu yaparken her örnek için, yalnızca bir denklem verilmeyecek, ortaya çıkan doğru ya da çember ve bunların konumları tanımlanacaktır. Uygun olabilecek yerlerde genellemeler yapın.
a (3,1) noktasına olan uzaklığı 2 birim olacak biçimde hareket ettirilen noktanın konumunu bulun.
b Aşağıda verilen noktalardan eşit uzaklıkta yer alacak biçimde hareket ettirilen noktaların konumunu bulun.
(i) başlangıç noktası ve (-2,5) noktaları
(ii) (-2,1) ve (3,-2) noktaları
c (x,y) noktasının x = -1 doğrusundan uzaklığı nedir? Başlangıç noktası ve x = -1 doğrusuna eşit uzaklıkta bulunan noktaların konumunu bulun.
d (-2,0) noktasından uzaklığı, başlangıç noktasına olan uzaklığının 3 katı olacak şekilde hareket ettirilen noktaların konumunu bulun.
e (8,0) noktasından uzaklığı, x = 2 doğrusuna olan uzaklığının iki katı olacak biçimde hareket ettirilen noktaların konumunu bulun.
f (-2,0) ve (2,0) noktalarından olan uzaklıklarının toplamının karesi 26 birim olacak şekilde hareket ettirilen noktaların konumunu bulun.
g A noktasının koordinatı (1,0) ve B noktasının koordinatı (-1,0) dır. Aşağıda doğruları oluşturacak biçimde yeri değiştirilen P noktasının konumunu bulun
(i) PA + PB = 4 (ii) PA - PB = 2
h L ve M noktaları, bir P noktasından eksenlere dik olacak şekilde çizilen doğruların ayaklarıdır. LM doğrusunun boyu 4 birim olduğu zaman, hareket ettirilen P noktasının konumunu bulun.
i (3,4) noktasından geçen değişken bir doğru eksenleri Q ve R noktalarında kesmekte ve Q ve R noktalarında, eksenlere dik olacak şekilde çizilen doğrular, P noktasında kesişmektedir. P noktasının konumu nedir?
k x + y = 0 ve x - y = 0 doğrularına olan uzaklıklarının karelerinin toplamı 4 birim olacak biçimde hareket ettirilen noktaların konumunu bulun.
2 y = ax2, y = ax2 +bx + c eğrilerinin aynı şekle ve aynı boyuta sahip olacak şekilde düzenlenmesini eksenleri değiştirerek gösteriniz. Ayrıca bu eğriler arasındaki ve y =x2 arasındaki geometrik ilişkiyi tartışın.
3 x ve y cinsinden ikinci dereceden verilen herhangi bir denklemin, hangi konik şekli ifade ettiğini gösterecek nasıl bir dönüşüm bulabilirsiniz. Örneğin, hangi türde, hangi boyutta ve hangi konumda.
4 (Eğri incelemesi) Bir eğriyi inceleyin. Bunu yaparken şunları göz önünde tutun:
a simetri
b diğer geometrik özellikler
c eğrinin boyu ve eğrinin içinde ya da altında kalan alan
d pratikte kullanımları ve bunların dayandığı özellikler (bunları kanıtlayın)
e eğriyi oluşturma yöntemleri ve zarfları (geçerliliğini ispat edin)
5 Tüm paraboller birbirine benzer yapıda mıdır?
Parabolün, bir eğri parçasının altında kalan alanın, dikdörtgenin dış köşelerinden bir çember geçirilerek elde edilen alanın üçte ikisine eşit olduğunu gösterin.
6 Hiperbol ve parabolleri inceleyin.
7 (Koordinat sistemi geometrisi): Bir parça kareli kağıt üzerinde, kareleri oluşturan doğruların kesiştiği noktaları, noktalarımız olarak, noktalar arasındaki uzaklık ise, yalnızca kareleri oluşturan çizgileri kullanarak elde edilen en kısa yol olarak ele alacağımız bir geometri düşünün. Bu geometriye, Öklit geometrisinden hangi teorem ve kavramlar aktarılabileceğini düşünün.
Bazı 3-boyutlu sorunlar
1 Küp
(a) Kaç farklı biçimde düzlemsel kesit elde etmek olanaklıdır?
(b) Bir çift çarpık doğru arasında olabilecek bazı açıları ve bazı uzaklıkları bulun;
(c) Bir küpün köşe noktalarından geçen bir çift düzlemin, en uzun köşegeni üç eş parçaya böldüğünü kanıtlayın.
(d) Simetri;
(e) Biçim değişimi; küp aşağıdaki şekillerde biçim değiştirdikten sonra hangi özelliklerini korumaktadır?
(i) Dikdörtgenler prizması (ii) yarı eşkenar dörtgen (iii) paralelyüzlü.
2 Küre
(i) Bir eğik çizim yapın.
(ii) İçine yerleştirilecek bir silindirle aynı yüzey alanına ve hacminin 2/3’üne sahip olduğunu gösterin. (Bunları aynı taban alanına ve yüksekliğe sahip bir koni ile karşılaştırın.)
(iii) Küresel bir yüzey alanının harita yapımında olduğu gibi oluşturulabilir yüzey üzerine nasıl yansıtılabileceğini düşünün. (ör. düz bir yüzey haline getirilebilenler.) Ortaya çıkan biçim değişikliklerini açıklayın.
(iv) Küresel üçgen’in ne olduğunu ve yüzey alanı için kullanılabilecek bir formül bulmaya çalışın.
(v) Kürenin düzlemsel kesitlerini ele alınız ve bu kesitlerin, kürenin toparsı ya da elipsoit biçimlerini aldıkları zaman uğradıkları değişiklikleri düşünün.
3 Dörtyüzlü (tetrahedron)
(i) Hacmi ve ağırlık merkezinin konumu için bilinen formülleri kanıtlayın.
(ii) Herhangi iki çarpık doğrunun ortak bir tek dikmesi olduğunu kanıtlayın.
(iii) Herhangi bir dörtyüzlünün, çerçeve içinde tutulan bir koşutyüzlü içine, kenarları, koşutyüzlünün her bir yüzeyinin köşegeni olacak biçimde yerleştirilebileceğini ispatlayın.
(iv) Dörtyüzlünün karşıt kenarlarının orta birleşim noktalarının yalnızca bir noktasının ortak olduğunu kanıtlayın.
(v) Çerçeve içinde tutulan bir koşutyüzlünün, aşağıdaki durumlarda kendine özgü hangi özellikleri taşıyacağını tartışınız a dikdörtgenler prizması; b yarı eşkenar dörtgen c küp
(vi) Desargues Teoremi hakkında bilgiler toplayın. (üç boyutlu uzayda)
4 Bir (a) silindirin (b) koninin; en büyük hacim ve en küçük yüzeye sahip olması için hangi oranlarda olması gerekir?
5 Verilen sabit bir yüzey alanı için en büyük hacme sahip olanları sıraya koyunuz: Küp, küre, dörtyüzlü. En iyi biçime sahip olanı belirleyin: Koni, silindir.
Çalışma yaprağı - 1
Grup olarak aşağıdaki soruları cevaplayın.
1 Küpü kendi cümlelerinizle tarif edin.
2 Gerçek yaţamdan üç tane küp ile ilgili örnek verin.
3 Kenar uzunluğu, ‘a’ birim olan küpün yüzey alanını ve hacmini hesaplayın.
4 Yukardaki küpün her bir kenar uzunluğunu iki katına çıkararak çizin. Aynı zamanda yeni geometrik şeklin yüzey alanını ve hacmini hesaplayın.
5 Üçüncü adımdaki küpün her bir kenar uzunluğunu üç katına çıkararak çizin. Aynı zamanda yeni geometrik şeklin yüzey alanını ve hacmini hesaplayın.
6 Üçüncü - beşinci adımlardaki işlemleri tablo halinde gösterin.
7 Bir küpün her bir kenar uzunluğunun aynı oranda artırılması durumunda yüzey alanındaki değişmenin nasıl olacağı ile ilgili sonucu hem kelimelerle hem de matematiksel olarak yazın.
8 Bir küpün her bir kenar uzunluğunun aynı oranda artırılması durumunda hacimdeki değişmenin nasıl olacağı ile ilgili sonucu hem kelimelerle hem de matematiksel olarak yazın.
Ödev:
Yukarıda elde ettiğiniz sonuçları içeren gerçek yaşamla ilgili bir problem yazın ve çözün
Çalışma yaprağı - 2
Grup olarak aşağıda sizden istenenleri yapın.
1 Basketbol topunun geometrik şekillerden hangisi olduğunu nedenleri ile yazın.
2 Yukarıda yazdığınız geometrik şekli kendi cümlelerinizle tarif edin.
3 Basketbol topunun iç yarıçapı ‘r’ ve lastiğin kalınlığı ise ‘t’ olsun.
4 Topun kapladığı dış hacminden iç hacmini çıkarırsanız ne elde edersiniz yazın.
5 Dördüncü adımdaki soruyu matematiksel olarak ifade edin ve sadeleştirerek en son halini yazın.
6 Silindirin, dikdörtgenler prizmasının ve küpün hacimlerinin hesaplanmasında ortak nokta nedir yazın.
7 Altıncı adımdaki sonuçtan yararlanarak yandaki lastik parçasının hacminin nasıl bulunabileceğini yazın.
8 Topun bütünündeki lastiğin hacmini hesaplamakta, lastik parçasının hacmini hesaplarken kullandığınız yöntemi kullanıp kulllanamayacağınızı açıklayın.
9 Dördüncü ve sekizinci adımlarda bulduğunuz sonuçlar arasındaki ilişkinin ne olduğunu hem kelimelerle hem de matematiksel olarak yazın.
10 Lastiğin kalınlığının sıfıra yaklaşması ne demektir açıklayın.
11 Lastiğin kalınlığının sıfıra yaklaştığında, dokuzuncu adımda bulduğunuz denklemin en son durumunun ne olacağını yazın.
12 Bu çalışma sonunda vardığınız sonucu hem matematiksel olarak hem de kelimelerle ifade edin.
Ödev:
Kürenin yüzey alanını koninin yüzey alanından, kürenin ve koninin hacimlerinden yararlanarak nasıl hesaplayabileceğinizi açıkl