Yeni sayfanın içeriği
KAREKÖKLÜ İFADELER
n Î Z+ olmak üzere xn = a eşitliği sağlayan x değerine a’nın n’inci kuvvetten kökü denir ve x = Öa şeklinde gösterilir, n’inci kuvvetten kök a diye okunur.
Örnekler:
· n = 2 için Öa : Karekök a,
· n = 3 için Öa : Küpkök a,
· n = 4 için Öa : Dördüncü kuvvetten kök a diye okunur
Not: Hiçbir reel sayının çift kuvveti negatif olamayacağından, negatif bir sayının çift kuvvetten kökü reel sayı değildir.
N Î Z+ olmak üzere Öa için a³0 olmalıdır.
Örnekler
· x4 = -16 ise x Ï R dir. Çünkü hiçbir x reel sayısının dördüncü kuvvetten kökü –16 olamaz.
Ö-16 Ï R, Ö-7 Ï R fakat
x3 = -8 ise x = Ö-8 Î R dir.
Soru-1
A = (Öx + Öx-3 )/(1 + Ö5-x ) ise A nın reel sayı olması için x’in alacağı tam sayı değerler kaç tanedir?
Çözüm
Öx-3 ve Ö5-x köklerinin kuvvetleri çift sayı olduğundan,
x-3 ³ 0 ve Ö5-x ³ 0
Þ x³3 ve 5³x
Þ 3 £ x £ 5 tir. Buna göre x in alabileceği tamsayı değerleri 3,4 ve 5 olup üç tanedir.
Köklü İfadenin Üslü Şekilde Yazılması
Öa = am/n dir.
Örnek:
· Ö8 = Ö23 = 23/4, Ö-2 = (-2)1/3 tür.
Soru-2
Ö2x = Ö(0,5)2x-1 ise x kaçtır?
Çözüm
Ö2x = Ö(0,5)2x-1 Þ 2x/3 = (1/2)(2x-1)/(2)
Þ 2x/3 = (2-1)(2x-1)/(2)
Þ 2x/3 = 2(-2x+1)/(2)
Þ x/3 = (1 – 2x)/(2)
Þ x = 8/3 dir.
Köklü İfadenin Üssünün Alınması
Tanımlı olduğu durumlarda,
(Öa )m = Öam
Örnekler:
· (Ö-2 )4 = Ö(-2)4 = Ö16
· (Ö2 )3 = Ö23 = Ö8 dir
Kök İçindeki Bir İfadenin Kök Dışına Çıkarılması
Kök içerisinde, üssü kökün kuvvetine eşit olan çarpanlar kök dışına çıkarılabilir.
n Î Z+ olmak üzere,
a , n tek sayı
Öan =
½a½ , n çift sayı
Örnekler:
· Ö125 = Ö53 = 5,
· Ö-8 = Ö(-2)3 = -2
· Ö1/32 = Ö(1/2)5 = ½
· Ö16 = Ö24 = ½2½ = 2
· Ö(Ö3 – 2)2 = ½Ö3 - 2½ olur.
Burada Ö3 - 2 < 0 olduğundan,
½Ö3 - 2½ = -(Ö3 – 2) = 2 - Ö3
·Ö26 = Ö(22)3 = 4
·Ö27/32 = Ö(3.32)/(2.42) = 3/4Ö3/2
Soru-3
Ö243 / Ö0,0048 işleminin sonucu kaçtır?
Çözüm
Ö243 / Ö0,0048 = Ö3.34 / Ö48.10-4 = 3.Ö3 / Ö3.24.(10-1)4
= 3.Ö3 / 2.10-1.Ö3
= 3.10 / 2 = 15 tir.
Kök Dışındaki Bir Çarpanın Kök İçine Yazılması
N inci kuvvetten bir kökün dışında, çarpım halinde bulunan bir ifade n inci kuvveti alınarak kök içine yazılabilir.
a/c . Öb = Ö(an.b)/(cn)
Not: n çift sayı ise a/c > 0 olmalıdır.
Örnekler:
· Ö2.Ö3/16 = Ö(3.25)/(16) = Ö6
· x.y.Ö1/x2y2 = Öx3y3/x2y2 = Öxy
· -1/3 . Ö27 = -Ö27/34 = -Ö1/3 tür.
Soru-4
A=(Ö5-3)Ö7+3Ö5 olduğuna göre, A kaçtır?
Çözüm
Ö5-3 < 0 olduğundan,
A = (Ö5 – 3)Ö7+3Ö5
= -(3-Ö5)Ö7+3Ö5
= -Ö(3-Ö5)2 .(7+3Ö5)
= -Ö(14-6Ö5)(7+3Ö5)
= -Ö2(7-3Ö5).(7+3Ö5)
= -Ö2[72 – (3Ö5)2]
= -Ö2.4 = -2Ö2 dir.
Bir Kökün Derecesini Genişletme Veya Sadeleştirme
Bir köklü ifadede, kök kuvveti ve kökün içindeki ifadenin üssü, uygun bir sayı ile çarpılabilir veya bölünebilir.
k Î Z+ olmak üzere
Öan = Öan.k = Öan/k
Örnekler:
· Ö32 = Ö25 = Ö2
· Ö3 = Ö32 = Ö9
· Ö-2 = -Ö2 = -Ö24 = -Ö16
· Ö(-2)6 = Ö26 = Ö26 = Ö2 dir.
Soru-5
x = Ö2 , y = Ö3 , ve z = Ö5
sayılarının büyükten küçüğe sıralanışı nasıldır?
Çözüm
X, y ve z sayılarının yaklaşık değerini bilmek zor olduğundan, kök kuvvetleri eşitlenerek kök içindeki sayılar karşılaştırılabilir. Buna göre:
x = Ö2 = Ö26 = Ö264
y = Ö3 = Ö34 = Ö81
z = Ö5 = Ö53 = Ö125 ve
125>81>64 olduğundan z>y>x tir.
Köklü İfadelerde Toplama-Çıkarma
Köklü ifadelerde toplama veya çıkarma yapılabilmesi için, kök kuvvetleri eşit ve köklerin içindeki ifadeler de birbirinin aynısı olmalıdır.
xÖa + y Öa – z Öa = (x+y-z)Öa gibi.
Örnekler:
· Ö3 + Ö2 (köklerin içindeki sayılar farklı)
· Ö7 + Ö7 (köklerin kuvvetleri farklı)
· 3Ö5 +Ö5 -2Ö5 = (3+2-1)Ö5 = 2Ö5 tir.
Soru-6
Ö48 + Ö12 - Ö27/4 işleminin sonucu nedir?
Çözüm
Ö48 + Ö12 - Ö27/4 = Ö3.42 + Ö3.22 - Ö(3.32)/(22)
= 4Ö3 + 2Ö3 – 3/2Ö3
= (4+2-3/2)Ö3 = 9/2Ö3 tür.
Soru-7
Ö8 + Ö-128 + Ö16 işleminin sonucu nedir?
Çözüm
Ö8 + Ö-128 + Ö16 = Ö23 + Ö2.(-4)3 + Ö24
= Ö2 - 4Ö2 + Ö2
= (1-4+1)Ö2
= -2Ö2
Köklü İfadelerde Çarpma-Bölme
Köklü ifadelerde çarpma veya bölme yapılabilmesi için, köklerin kuvvetleri eşit olmalıdır.
Tanımlı olduğu durumlarda:
Öa . Öb = Öa.b
Öa / Öb = Öa/b
Not: Köklerin kuvvetleri farklı ise, kök kuvvetleri eşitlenerek çarpma veya bölme yapılabilir.
Öa . Öb = Öam . Öbn = Öam.bn
Öa / Öb = Öam / Öbn = Öam/bn (b¹0) dir.
Örnek:
· (Ö2 . Ö3) / (Ö5 ) = Ö(2.3)/(5) = Ö6/5 tir.
Soru-7
Ö2 . Ö16 işleminin sonucu nedir?
Çözüm
Köklerin kuvvetleri 3.5=15’te eşitlenirse,
Ö2 . Ö16 = Ö2 . Ö24
= Ö25 . Ö24.3
= Ö25 . 212 = Ö217
= Ö215 . 22 = 2Ö4 tür.
Paydanın Rasyonel Yapılması (Paydanın Kökten kurtarılması)
1-) n > m, b ¹ 0 olmak üzere, a/Öbm şeklindeki ifadelerde pay ve payda Öbn-m ile çarpılarak payda kökten kurtarılır.
a / Öbm = (a / Öbm ) . (Öbn-m / Öbn-m) = (a . Öbn-m) / (b) dir.
Örnekler
· a/Öb = (a/Öb) . (Öb/Öb) = (aÖb)/(b)
· 1/Ö32 = (1/Ö25) . (Ö22/Ö22) = Ö4/2
· 1 / (Ö2.Ö3) = [1/(Ö2.Ö3)].[(Ö22.Ö3)/(Ö22.Ö3)] = (Ö4.Ö3)/(2.3) = (Ö4.Ö3)/(6)
2-)a/(Öb-Öc) şeklindeki ifadelerde pay ve payda Öb+Öc ile,
a/(Öb+Öc) şeklindeki ifadelerde ise pay ve payda Öb-Öc ile çarpılır.
(x-y)(x+y) = x2 – y2 olduğundan
(Öb - Öc)(Öb + Öc) = (Öb)2 – (Öc)2 = b – c dir.
Bu şekilde paydada iki kare farkı elde edilerek payda kökten kurtarılmış olur.
a/(Öb-Öc) = [a/(Öb-Öc)].[(Öb+Öc)/(Öb+Öc)] = [a(Öb+Öc)] / [b-c]
a/(Öb+Öc) = [a/(Öb+Öc)].[(Öb-Öc)/(Öb-Öc)] = [a(Öb-Öc)] / [b-c] dir.
Örnek:
· 1/(Ö5 – 2) = [1/(Ö5-2)].[(Ö5+2)/(Ö5+2)] = [Ö5 + 2] / [(Ö5)2 – 22] = Ö5 + 2
· 2/(Ö5 + Ö3) = [2/(Ö5+Ö3)].[(Ö5-Ö3)/(Ö5-Ö3)] = [2(Ö5-Ö3)] / [(Ö5)2-(Ö3)2] = Ö5-Ö3
Soru-8
3/Ö4-Ö7 ifadesinin eşiti nedir?
Çözüm
3/Ö4-Ö7 = (3/Ö4-Ö7).(Ö4+Ö7)/(Ö4+Ö7)
= (3Ö4+Ö7)/Ö42 – (Ö7)2 = (3Ö4+Ö7)/Ö9
= Ö4+Ö7 dir.
Not: n Î Z+ olmak üzere, paydada Öa-Öb ifadesi varsa pay ve payda Öa+Öb ile,paydada Öa+Öb ifadesi varsa pay ve payda Öa-Öb ile çarpılır.
Soru-8
1/(Ö2-1) ifadesinin eşiti nedir?
Çözüm
1/(Ö2-1) = [1/(Ö2-1)].[(Ö2+1)/(Ö2+1)]
= [Ö2+1]/[(Ö2)2-11] = (Ö2 + 1) / (Ö2 – 1)
= [(Ö2+1)/(Ö2-1)].[(Ö2-1)/(Ö2-1)]
= (Ö2+1)(Ö2+1) dir.
3-) a/Öb - Öc şeklindeki ifadelerde pay ve payda Öb2 + Öbc + Öc2 ile çarpılır.
(x – y)(x2 + xy + y2) = x3 – y3 olduğundan,
(Öb - Öc )(Öb2 + Öbc + Öc2 ) = (Öb )3 – (Öc )3 = b – c dir.
Bu şekilde paydada iki küp farkı elde edilerek, payda kökten kurtarılmış olur.
a / (Öb - Öc ) = [a / (Öb - Öc )].[(Öb2 + Öbc + Öc2 ) / (Öb2 + Öbc + Öc2 )]
= [a(Öb2 + Öbc + c2 )] / [b - c]
a/Öb + Öc şeklindeki ifadelerde ise pay ve payda Öb2 - Öbc + Öc2 ile çarpılır.
(x + y)(x2 - xy + y2) = x3 – y3 olduğundan,
(Öb + Öc )(Öb2 - Öbc + Öc2 ) = (Öb )3 + (Öc )3 = b + c dir.
Bu şekilde paydada iki küp toplamı elde edilerek, payda kökten kurtarılmış olur.
a / (Öb + Öc ) = [a / (Öb + Öc )].[(Öb2 - Öbc + Öc2 ) / (Öb2 - Öbc + Öc2 )]
= [a(Öb2 - Öbc + c2)] / [b + c]
Örnek:
· 1 / (Ö5 - Ö3 ) = [1 / (Ö5 - Ö3 )].[(Ö52 + Ö5.3 + Ö32 ) / (Ö52 + Ö5.3 + Ö32 )]
= [Ö25 + Ö15 + Ö9 ] / [(Ö5 )3 – (Ö3 )3]
= (Ö25 + Ö15 + Ö9 ) / 2
Soru-10
1 / (Ö9 + Ö6 + Ö4) ifadesinin eşiti nedir?
Çözüm
1/(Ö9+Ö6+Ö4) = [1 / (Ö32 + Ö3.2 + Ö22 )].[(Ö3 - Ö2 )/(Ö3 - Ö2 )]
= [Ö3 - Ö2]/[(Ö3)3 – (Ö2)3
= Ö3 - Ö2 dir.
İç İçe Kökler
1-) Öx + 2Öy veya Öx - 2Öy şeklindeki ifadelerde kök içerisinin tamkare olup olmadığı araştırılır. Bunun için,
x = a + b
olmak üzere
y = a . b
· Öx + 2Öy = Ö(Öa + Öb )2 = ½Öa + Öb½
a+b a.b
· Öx - 2Öy = Ö(Öa - Öb )2 = ½Öa - Öb½
a+b a.b
Not: İçteki köklü ifadenin çarpanı 2 olmalıdır.
Örnekler:
· Ö4 + 2Ö3 = Ö3 + Ö1 = Ö3 + 1
· Ö7 - 2Ö12 = ½Ö4 - Ö3½ = 2 - Ö3 tür.
Soru-11
Ö3 + Ö5 - Ö3 - Ö5 işleminin sonucu nedir?
Çözüm 1
Ö3 + Ö5 - Ö3 - Ö5 = Ö[2(3 + Ö5)] / 2 - Ö[2(3 - Ö5)] / 2
= [(Ö6 + 2Ö5) / Ö2] – [(6 - 2Ö5) / Ö2]
= [(Ö5 + 1) / Ö2] – [(Ö5 – 1) / Ö2]
= (Ö5 + 1 - Ö5 + 1) / Ö2
= Ö2
Çözüm 2
Verilen ifadeyi x’e eşitleyip her iki tarafın karesini alalım
x = Ö3+Ö5 - Ö3-Ö5
x2 = (Ö3+Ö5 - Ö3-Ö5 )2
x2 = (Ö3+Ö5 )2 +(Ö3-Ö5 )2-2Ö(3+Ö5)(Ö3-Ö5)
x2 = 3 + Ö5 + 3 - Ö5 - 2Ö32-(Ö5)2
x2 = 6 - 2Ö4 Þ x2 = 2 olur.
x = Ö3+Ö5 -Ö3-Ö5 > 0 olduğundan
x = Ö2 dir.
Not:
a>0 , b>0 ve a2>b olmak üzere,
Öa+Öb = [Ö(a+Öa2-b )/(2)] + [Ö(a+Öa2-b)/(2)
Öa+Öb = [Ö(a+Öa2-b )/(2)] - [Ö(a+Öa2-b)/(2)
1-) ÖÖÖa = Öa dır. (m.n.t çift sayı ise a>0 olmalıdır.)
Örnek:
· ÖÖÖ2 = Ö2 = Ö2
Soru-12
Ö2Ö2Ö2 ifadesinin eşiti nedir?
Çözüm
Kökler arasındaki çarpanları en içteki kökün içine yazalım.
Ö2Ö2Ö2 = ÖÖ23.2Ö2 = ÖÖÖ220.2
= Ö221 = Ö27 = Ö128 dir.
3-) İç İçe Sonsuz Kökler
a)
ÖaÖaÖa... = Öa
ÖaÖaÖa... = x Þ Öa.x = x
x
Þ x = Öa
Örnekler:
· Ö8Ö8Ö8... = Ö8 =2
· Ö7Ö7Ö7... = Ö7 = 7 dir.
b)
Öa:Öa:Öa: ... = Öa
Öa:Öa:Öa: ... = x Þ Öa:x = x
x Þ x = Öa
şeklinde doğruluğu gösterilebilir.
Örnek:
· Ö8:Ö8:Ö8: ... = Ö8 = 2 dir.
c)
Öa+Öa+Öa+ ... = (1+Ö1+4a) / (2) (a>0)
Öa-Öa-Öa- ... = (-1+Ö1+4a) / (2) (a³0)
Öa±Öa±Öa± ... = x Þ Öa±x =x
x Þ a±x = x2
Þ (±1+Ö1+4a) / 2
şeklinde doğruluğu gösterilebilir.
Örnek:
Ö5+Ö5+Ö5+ ... = x Þ Ö5+x = x Þ 5+x = x2
x Þ x2 – x – 5 = 0
Þ x = (1+Ö1+4.5)/(2)
Þ x = (1+Ö21)/(2) dir.
Not:
a > 0 olmak üzere,
Öa(a+1)+Öa(a+1)+Öa(a+1)+ ... = a+1
Öa(a+1)-Öa(a+1)-Öa(a+1)- ... = a
Örnek:
· Ö12+Ö12+Ö12+ ... = 4 (a = 3, a+1 = 4)
3.4
· Ö30-Ö30-Ö30- ... = 5 (a = 5, a+1 = 6)
6.5
ÖSS SORULARI (1988-1997)
1997/SAYISAL
Soru No: 2
(Ö40 . Ö18) / Ö80
İşleminin sonucu kaçtır?
A)3 B)2 C)1 D)4Ö5 E)2Ö5
Çözüm
Ö(40.18) / 80 = Ö9 = 3 CEVAP A
Soru No: 4
Ö0,00256 . Ö(0,081)-1
İşleminin sonucu kaçtır?
A)4 B)2 C)1 D)-1 E)-4
Çözüm
Ö(0,4)4 . Ö[(0,2)3]-1 = 0,4 . (0,2)-1
= 0,4 . (1/0,2) = (0,4)/(0,2) = 2 CEVAP B
Soru No: 25
Ö25/64 + (1/9) – (5/12)
İşleminin sonucu kaçtır?
A)Ö5/12 B)5/8 C)1/12 D)1/8 E)7/24
Çözüm
Ö(5/8)2 – 2.(5/8).(1/3) + (1/3)2 = Ö[(5/8)–(1/3)]2
= (5/8) – (1/3) = (15/8) / 24 =7/24 CEVAP E
1996/SAYISAL
Soru No: 10
0,09’un karekökü kaçtır?
A)0,081 B)0,081 C)0,81 D)0,3 E)0,03
Çözüm
Ö0,09 = Ö(0,3)2 = 0,3 CEVAP D
Soru No: 11
(Ö0,48 - Ö0,27)/Ö1,47
İşleminin sonucu kaçtır?
A)1/7 B)2/7 C)1 D)0,3 E)0,03
Çözüm
(Ö3.0,16 - Ö3.0,9) = (0,4Ö3 – 0,3Ö3)/0,7Ö3
=(0,1Ö3)/(0,7Ö3) = 0,1/0,7 = 1/7 CEVAP A
Soru No: 12
[3 / ((3 + 2Ö2)]+[3 / (3 - 2Ö2)]
İşleminin sonucu kaçtır?
A)6 B)9 C)12 D)16 E)18
Çözüm
{[3.(3-2Ö2)]/[9-8]}+{[3.(3+2Ö2)]/[9-8]}
= [9-6Ö2]+[9+6Ö2] = 18 CEVAP E
1995/SAYISAL
Soru No: 12
Ö9+Ö(-4)2-Ö(-5)2
İşleminin sonucu kaçtır?
A)0 B)1 C)2 D)10 E)11
Çözüm
½3½ + ½-4½ - ½-5½ = 3 – (-4) – [-(-5)]
= 3 + 4 – 2 = 2 CEVAP C
1994/SAYISAL
Soru No: 11
a = Ö6+1 ve b = Ö6-1 olduğuna göre (a/b)+(b/a) toplamı kaçtır?
A)2 B)3 C)4 D)14/5 E)29/7
Çözüm
A+b = 2Ö6 ve a.b = 5
(a/b) + (b/a) = (a2 + b2)/(ab)
= [(a+b)-2ab]/(ab) = [(2Ö6)2 – 2.5]/5
= (24-10)/5 = 14/5 CEVAP D
1992/SAYISAL
Soru No: 8
Öa2 = ½a½ şeklinde tanımlandığına göre,
[Ö(-3)2 + Ö9 - Ö(-9)2]/[Ö(-3)2]
İşleminin sonucu kaçtır?
A)-9 B)-3 C)-1 D)3 E)9
Çözüm
(-½-3½ + ½3½ - ½-9½) / (½-3½) = (-3+3-9)/3
=-9/3 = -3 CEVAP B
1991/SAYISAL
Soru No: 13
(Ö3.Ö12)/(Ö0,16 + Ö0,36)
İşleminin sonucu kaçtır?
A)0,6 B)0,9 C)6 D)9 E)2Ö3
Çözüm
[Ö3.12]/[Ö(0,4)2+Ö(0,6)2] = (Ö36)/(0,4+0,6)
= 6/1 = 6 CEVAP C
1990/SAYISAL
Soru No: 11
[1/(3-Ö2)] + [1/(3+Ö2)]
İşleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
A)6 B)3 C)2 D)3+Ö2 E)3-Ö2
Çözüm
[(3+Ö2)/(9-8)]+[(3-Ö2)/(9-8)]
= (3 + 2Ö2 + 3 - 2Ö2) = 6 CEVAP A
Soru No: 22
Ö(-4)2 - Ö42 – (-2)2
İşleminin sonucu kaçtır?
A)-24 B)-16 C)-8 D)0 E)8
Çözüm
½-4½-½4½-(-8) = 4-4+8 = 8 CEVAP E
